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読者投稿:解いてみた

目次 国際的な小咄 1~5000 国際的な小咄 5001~

6659 : 尋常な名無しさん : 2022/05/22(日) 04:32:13 ID:62zTkLb.

思いつかない奴多くて草。なお俺も思いつかなかった模様

30年くらい前は「現国はセンスで解く」とか言われてたが
数学のセンス、こと補助線問題に要求されるセンスに比べたら現国って努力で結構なんとかなると思うんだがな
さあサムネで解いてみろ!(補助線三本)
ttps://www.youtube.com/watch?v=-qKjS2gqJGU&t=597s


6729 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:24:28 ID:CKUb9zsk


1/6


読者投稿:解いてみた



            -─ `ー―- 、
        /         ⌒丶
        ./                 \             >>6659を解いてみました
      ..,′.::::.:/)/:::/:.:.: :ヽ: ::.(\:: ヽ.
        i/::./:(/:∧::{::::.:.: : j::.: }.:\)::ハ          下図を使って説明します
        |:::/::/:.::ノ⌒从:: /:::.八/::./:.:.:ノリ
       V{::イ:イ斗ぅ犾∨/rセV厶イ /
       V八从.弋)ソ    ヒソ //:./         AAゆえ、多少のいびつさはご容赦ください
         \ヽ::ゝ       /_彡'′
           / >  _` ´_..イ"´
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━




                  A                                D
                  ┌────────────────────┐
                  │\                                      │
                  │  \                                    │
                  │    \                                  │
                  │      \                                │
                  │        \                              │
                  │          \                            │
                  │            \                          │
                  │              \                        │
                  │                \  7                │
                  │                  \                    │
                  │                    \                  │
                  │                      \                │
                  │                        \              │
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                  │                            \          │
                  │                              ヽ。P       |
                  │                       _ -==.\     │
                  │             5  _ -==  ̄        .\ 1  .|
                  │      ._ -==  ̄                 \  │
                        |_ -==  ̄                      \│
                  └────────────────────┘
                  B                                C



━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

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6730 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:24:51 ID:CKUb9zsk


2/6



            -─ `ー―- 、
        /         ⌒丶
        ./                 \             まず、2本の補助線を引きます
      ..,′.::::.:/)/:::/:.:.: :ヽ: ::.(\:: ヽ.
        i/::./:(/:∧::{::::.:.: : j::.: }.:\)::ハ
        |:::/::/:.::ノ⌒从:: /:::.八/::./:.:.:ノリ          点Pから水平(BCに平行)に1本
       V{::イ:イ斗ぅ犾∨/rセV厶イ /
       V八从.弋)ソ    ヒソ //:./         点Pから垂直(ABに平行)に1本
         \ヽ::ゝ       /_彡'′
           / >  _` ´_..イ"´
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━


                  A                                D
                  ┌────────────────────┐
                  │\                                      │
                  │  \                                    │
                  │    \                                  │
                  │      \                                │     水平の線が辺ABと交わる点をQ
                  │        \                              │
                  │          \                            │     垂直の線が辺BCと交わる点をR
                  │            \                          │
                   a │              \                        │
                  │                \  7                │     AQの長さをa
                  │                  \                    │
                  │                    \                  │     QBの長さをb
                  │                      \                │
                  │                        \              │     BRの長さをc
                  │                          \            │
                  │                            \          │     RCの長さをd
                      Q |._______________.ヽ。P       |
                  │                       _ -==|\      │
                   b │             5  _ -==  ̄    .|  \ 1  .|
                  │      ._ -==  ̄           |    \  │
                        |_ -==  ̄                    |      \│
                  └───────────────..┴ ─── ┘
                  B          c                  R   d    C



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6731 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:25:17 ID:CKUb9zsk


3/6




            ,ィ_,.. -‐‐-- 、..
         __(i/.:".:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:`ヽ、
       /.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ .:.:.:\
      /.:.:.:.:.:.:.:.:.:..:.:.:.:!.:.:.:.:.:.::.:.:.:i.:.:.:.:.:.ヽ.
      /.:.:.:.:.:/.:.:.:.:.:.:.:.:ト.:.:.:.:.:.::.:.:.:|_.:.:.:ヾ.:.!            四角形QBRPは長方形ですので
      |.:.:.:l.:.|.:.:.:!.:.:.:.:!.:| ヽト、.:.:.:トイハ:.:!:.:トリ
      |.:.:..:V.:.:,イ.:.:..:ハナ二゙ ! リ,rj゙) ト、!:|              QB=PR=bですし、BR=QP=cです
       ! .:.:.:| /.:i.:.::.:! <tヅ` レ' 、` ノイ:|゙
       ヽ、:V:.:.:|.:.:ハ、_¨     ' ノi.:.:!
        \.:.:.:∨.:.:.:>   c /!ハ,ノ           直角三角形AQPから、ピタゴラスの定理より
         `‐-、`二ニ=-_  ./
        r‐、-/ `ヾヽ `/ ̄´               a^2+c^2=49 ……〔1〕
       ,イ  `゙‐-、_`゙ !
     //        `ヽ!、
    r'::::ノ`゙‐‐-=----、..__ i                  同様に直角三角形BQPとCRPから
    !:::::|   /"::::::::::::::::::::`ヾ!_
    ,ハ::::| ! /::::::::::::::::::::::::::::!::lヘ`ミ!               b^2+c^2=25 ……〔2〕
   / !:::| /::::i::::::::::,r‐‐--、ヽ:ト、V
  r‐'  |::::l /::::::l::::/   、 ゙!〉:}レ゙                   b^2+d^2=1  .……〔3〕
  j    {:::v::::::::::r'|     ! |::::i
 /  -‐|:::!:::::::::::!|       l |::!
/ _,,ニ=-ヘ::!::::::::::::|      ヽト!







              ,. -──-- 、
         /. : : : : : : : : : : :.\
          /. : : .,: : :,: : : : : 、: .  :ヽ
       /. : .,:' . ;: . .; .  . : :',: .  :.ヽ              〔1〕-〔2〕を計算すると、左辺は
        /. : :,'.: : :i: : : .!: . . : : :i: : : :.',: :',
      ',: : /: :,:':ハ: '; :.!: : : : ,!;ハ:,i: ; :', : :}               (a^2+c^2)-(b^2+c^2)=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
        ',: :i: :/:/-弋:、:i: : :,:ル‐l/、:; :.',:i:!
        !: !:/レく 下!` ヾ;:ノ イ丁yi:; : iN                 右辺は 49-25=24
       ',:.ゞ: ゝ `´     `´ /.: : ;i
       '、 : :、:\    '    /.:'/.〃                 整理して (a+b)(a-b)=24 ……〔4〕
         `、: :゙:ミゝ ⊂  彡':,:'/
           ヾ:.ミl\   イレ';/"
          ,.ィーj  _`´ .::|ー-,、                      同様に〔2〕-〔3〕を計算して、左辺は
         __/   ゙、/_ノ .::::`ソ :ヽ、
     ∠_   __,.-' /_   _./   :.\_                (b^2+c^2)-(b^2+d^2)=c^2-d^2=(c+d)(c-d)
    ,ィ:':::::::フ´ 、 \ト、` ´/  ,. -‐:':´: ̄ス
    / ヽ/´ 、ヾ:、ヽ.-;‐うイ:.:..::..:..:.:.:.:.:/::ヽ             右辺は 25-1=24
   /  /.:入 ヽ '、ヽ_j-'il´.:..::..:..::.. .:.:/.:  :',
   /   ノ :.___゙ァ'ヽ_j';;;,!;iヽヾ/.:..::.:..:.::/    :',             整理して (c+d)(c-d)=24 ……〔5〕
  /  /    ;イ::::.:.:.::.:!i│ ;;i`:.:.:..::.:::/     ::l
  / :/     ハ:::::.:.:.:.:.:!;|  i;;!::::::::::/、_    :.:.:l
. 〈.: :/   ./.: :,!:;:;:;:;:;:;:L!. /レ;:;:;:;:;:゙!:.:.:.`ヽ、  :.ヽ

.


6733 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:25:53 ID:CKUb9zsk


4/6



            /   ``'´  ` 丶、
          /:.              ヽ
         /::::::::  .  / ..:.         ゙、
         ,':::::::::::.:...::. ,'::.:::::.::::::.::...:. ヽ.   ',
        ,':::/::::::::::l:::::..i:::;:::::::i::::::l:::::l::::...',::.. i                    さらに〔4〕-〔5〕を計算すると
         ';':::/::/ハ:::::ト、!:::::::l:::;イ:::::;!、::::i::::;'
          i/:l/、‐_.-ヾ゙ ヘ::i:イ/斗レ‐トヽ:l;/                   (a+b)(a-b)-(c+d)(c-d)=24-24=0
          ヽ::、:',ヽ'iフト  ヽ' ' ィアi゙ゝ//:::/
           丶:';:ヾ  ̄  ,    ̄,イィ::/                     整理して (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d) ……〔6〕
           >ヘヽ.   _゙ _   ,.イ/丶、
      _,,.. <¨´    ',> 、 ,.イ/      > ..,,_
     ∧:::::::::::::':..,   '、-、 ¨ ,.-/    ,..:':::::::::::::/ヽ              .また、問題の前提として正方形のため
     /´ lヽ;::::::::::::::'::..、  ',    /  ,,..:'::::::::::::::/  `ヽ
    /  __ヽ\:::::::::::::',ヾヽ、 /,..イ//::::::::::::::://    i            .(a+b)=(c+d) ……〔7〕
    /  !\\-、:::::::::::::', ¨‐-l\f‐ニ /::::::::::::::/,..-、     l
 .  /   l  \\\::::::::'r''"´7ヽ  \:::::::::/ /l    i
  /    l   \\\::ヽ__/  ヽ/::::::/ /  l     l
 .〈     l     \\\   /:::::::::/ /   l    ,ノ





           /  ̄, ´ ̄ 丶、
        / . ..:::/'´::::::::::::::::::::\
       /  .. :/.::::::::::::::::;:::::::::::::::::\
       // ./ .. :;ィ:::::::;::::/::::::::;::::::::::::::゙、
        1  / //ィ''フ<l:/l::::/:::;::::::::';:::',
       i  '´:::::´i マヲハレ l::/:;イノ:::::::;':ハ                〔6〕に〔7〕を代入して
       ',   :::::ハl  ¨`    ,、-lノレ':/
       ', ト:::::lヽ     . f'ノ.i_ノjノ              (a+b)(a-b)=(a+b)(c-d)
        \!ヽ:l     ‐- '´/:l
          ノ ヾ ヽ   .. ィ::´:/
     ┌‐/    f ¨´テ/レ'                  (a+b)が0でないことは明白なため
     ノ  ̄¨‐- 、.l..__
     /'⌒¨‐-、  \ヽ\                        両辺を(a+b)で割って
   ,.ケ‐--、:::::¨‐-、...ヽ! /、
 .  l/    ∨::::::::::', ィスヽ>                   (a-b)=(c-d) ……〔8〕
   /      ∨::::::::',ヽイトヽ.|
 . i/      ノl\/::::', l_l ヽ!l
  /      l / /::::::::::',   ', !
  /         l/:::::::::::::::}   ,' ',
. /         l::::::::::::::::::l.ノ /  ',

.


6735 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:26:20 ID:CKUb9zsk


5/6



        _, . .- . .-‐ー- 、_
     ,. :'´/_ ̄ー_,>‐ヽ:ー:\、
    /: .:; ィ'´ノ'´/: : : : : : ̄ヽ: \
   /:/:/〃//: : : .:/: : : i: : : ヾト、ヽ
  / / {  jlイ :/: .:/: .:l: : :i: :| : .:.:lヘヽ〈i
 /:/:/ 〉イ///:.:.:/ :/.:| :!.:| .:j :.:l :l .:V.∧            〔7〕+〔8〕を計算して
 |// /: :〃:.:/.:イ才> !:|.:l /j_r」/ .:.:Y::::l
 l|;' :{ : :i :|;イK‐' 1アリヾ !|:l :/;∠!//:〈:/:i}             (a+b)+(a-b)=2a=(c+d)+(c-d)=2c
  N: !: : l: :ハヘ  ` '   ノ'´'Lソ ク::/::|:イ|!
  !ハl: : :!: : トヽ\     :、 イ/:|::! ′             よってa=cであることが導き出され
    !ヘ : :l.:.:.:!:k ̄    ‐- ´ ‐'´/:イ/
     ヾヘ:.:ト:ヽ\    , イ::///              (a+b)=(c+d)よりb=dであることも導き出されます
      〉`¨7'‐=、`_‐く;∠イ '´
     /  ,イヘ、 |:::/〉
    /-∠、_  ̄ `" !
  /-―- 、 \`‐、  ヽ






.      ,  -―-ォy、, -―- 、
     ,イ__   /    r‐-、\
.     //,.'´       \ 《\\
.  /{《/ ./     i .i    .ヽ》 l ' ,
. /,ィ レ′l i  l.   | l     `v′ ',                  つまり三角形APQも三角形CPRも
//   ハ i |   |  . | ト、.      ', ヽ |
/ l.  i | N .|.  |!. ┼,ム-\     |   ハ               直角二等辺三角形であり
. |  | ヽ !‐ハ  |ヽMl ,r,___, \   |   .}
  | .∧ 〈  __ヽ!.    '⌒´ / `ヽ. |  ,イ                   辺APも辺CPも正方形ABCDの
.  V! .lヘ. Y´⌒〉      /イ  ./ /リ
.   ヽ| ヽ!  ヽ   ,   ' /  / /                     対角線AC上に存在し
    !.  \. ` ´   /イ /リイ
    ヽイハルv'ヽ.   / ,イ
.           `T´__,/,仁}                       よって、正方形ABCDの対角線の長さは
           rh r'-‐'」  |_____
      ___rャイ |」 イヘ  /::::::/´ ̄ ̄`ヽ.                AP+CP=7+1=8となります
   , ィ'´  /::;イ  , ,  ___,〉.《:::::《   f⌒ハ .ヘ,
  yfvハ  /;イ `ヽ!」/´   ∥:::∥  .ゝ'ィ′∥
  |ゝイ ,イ::/    fj .fj      |l;ヘ::lL,__     .|
 .|  .ィililj.            〈ililililililil∧   ゝヽ_
 .l  {/   , ,          ',ililililililiヘi!、  `ヽソ
  } ,r'     / .l    ......  }ililililiソ ヽiliト、_____|
 y' { :::....  /,.ヘ,! ..:::::::::::::::::::ノililili/   \ililililil|

.


6736 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:26:45 ID:CKUb9zsk


6/6



             _,,, >-─-、、ハハ
       ヘ  // ̄):::::::::::::::::::::::Yヽ:::::ヽ
     ヘ   /ィ/´::::::::::::::::::::::::::::::ヽヽ\::ヘ
    ヘ   /:::〉'::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::∨ Y:ヽ
      イ:::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\ノ:::::',                したがって求めるべき正方形の面積は
      /::ィ:::::::::::::ヘ:::::::::::::::::::::::::/|:::::::::::::::::::::::|
 _   イ.{ハ:|∨∨.\ヘ:::::::::/ノ リヽ:::::::::::::::::|            8^2/2=32
/  `ヽ、 .|::::::ヘ   `\ ヽ:ノ /´ .ノノ|ゝゝ:::}
ヽ、___ノ_ >、:::::ヘ " ̄`    ´ ̄`イ /:::::::::::/
  /   Y'"´ Y ゝ   v、~v    /:::::::::::/
  .{   __ヘ__,,ィ |ゝヽ  ヽ __ノ   /:::::/::::/                 以上! 解答終わり!
  .{     / 〉.!ヽ>,> _  イ///:ノ'
  .{    ̄/ノノ }} .〕} /ミヽ::::/彡ヽ__
  ヽ--‐'"ィ /ヘ/:Y ヽ-i =ィ-" 〉ヘ}ヽ__
     ヽ-' ̄Y::::::::ノ  __ ∨__ 〔::::::::ヽ{ ()
        .|:::::./   | |.  | |  ヽ::::::ノ Y







       -‐‐- 、
     /     ヽ
    !  ! 人|,.iノl_ノ)    補助線3本……?
    i  乂-‐ -! i
    \ヽ .ゞ - ノノ
      ``フ i´
         / \ノゝ
      /__i |丱!_|_
    ━━つ━つ━━∞∞∞===========

.


6737 : 綾波 ◆NceBefCEh6 : 2022/05/22(日) 09:27:06 ID:CKUb9zsk

以上です、ありがとうございました

まぁ、解法なんていくらでもありますし
動画だと数式中心の解き方よりは
補助線を多用した方がパッと見で分かりやすいのかも

図形の補助線に限らず、高校までの数学は反復練習からの慣れですね


6738 : 尋常な名無しさん : 2022/05/22(日) 09:28:00 ID:HMe12ZkQ

算数はセンスゥ


6739 : 尋常な名無しさん : 2022/05/22(日) 09:29:50 ID:Zc5zecXg

乙でした


6740 : 尋常な名無しさん : 2022/05/22(日) 09:31:08 ID:IvbMsY.Y


6743 : 尋常な名無しさん : 2022/05/22(日) 09:33:50 ID:H8/7WgQw

乙でした


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高校数学Ⅱだと,AB=BC=x,∠ABP=θとして ∠CBP=90°-θ
△ABPで(第2)余弦定理より 49=x^(2)+25-10xsinθ…(*)
△CBPで同様に 1=x^(2)+25-10xsin(90°-θ) 1=x^(2)+25-10cosθ…(**)
(sinθ)^(2)+(cosθ)^(2)=1 と (*)(**)から 100x^(2)=2x^(4)+1150
(x^(2)-32)(x^(2)-18)=0 ゆえに x^(2)=32 か x^(2)=18
θは鋭角なので AP^(2)<AB^(2)+BP^(2) よって x^(2)>24
x^(2)=32 正方形の面積は x^(2)=32
(第2)余弦定理がピタゴラスの定理(>6731)の拡張になっている例です。
理学部数学科卒ですが,(最先端の)数学にセンスは必要だが,(センスに関係なく)理解すれば誰でも使えるものとして定理などがあると個人的には思います。大学でも定理の暗記と応用に終始し,新しい定理につながる発想(これがセンスだと思う)が失われつつあるのではないかと危惧する次第です。
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