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読者投稿:ガリレオの思考実験

目次 国際的な小咄

1643 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:29:53 ID:mdIDsGPE


01/48 再掲

      , ── 、
   ゝ/______ヽ
    | | / -、 -、|    どうも、
    |__|─|   ・|・  |
    (   ` - o- |   レベルを上げて物理で殴るです。
      \   ___っ ノ
      /ヽ、__─、- ´    自分の投稿がまとめられているのを見てにやにやしています。
     /^\/\/ヽ
     |  |     | |

02/48 再掲

       , ──-  、
    ゝ/______\
    /  |  / , - 、 - 、l    やっぱりいいもんですね。
     l   |  /     l     l
     l  |─|   ^|^   |   第三者に掲載価値ありと認めてもらえるというのは。
      Y⌒  ` ─  ヘー ヽ
     ヽ_   |`───┘ノ
  ∩    ヽ、_ヽ__//    ∩
 ┘`ー┬─´\/\/ー┬─´ └-、
 _ __|_ ノ     |_|___三
        |        |

.





1644 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:30:32 ID:mdIDsGPE


03/48 再掲

    , ── 、
 ゝ/ _____ヽ
 /  | / -、 -、!    さて、投稿に対するコメントに、以下のようなものがありました。
. |  |─|   ・|・  |
 Y⌒   ー oー l
  ヽ_    , ─,  l
    ヽ、__(_ //
    /\/ヽ/ヽ

>136037 :日常の名無しさん:2020/11/25(水) 09:42:29 ID:-[ ]

>重い物の方が落下の加速度が早いと仮定する
>1kgの鉄球と100kgの鉄球では、1kgの鉄球の方が加速度が小さい
>そのため1kgの鉄球と100kgの鉄球を紐で結んで落とすと、1kgの鉄球の小さい加速度に引っ張られるために100kgの鉄球の加速度は小さくなる
>しかし紐で結んだ2つの鉄球を1つの101kgの物体と考えれば、100kgの鉄球より加速度は大きくなければいけないので矛盾する
>矛盾が出たので最初の仮定は誤り
>
>ガリレオはこの思考実験のパラドックスを使ったそうなんだけど
>これはどうやって解決するんだろ


04/48 再掲

        .,,ー''''''''''''''丶、
      ∠____、  ` 、
      !〆\, ノ ¬.ミ    !.   これは良い質問です!
      ._|  ミ||0~  ).!  . }
  .-、  ( \__人._..ノ三''Y゙/ )   学部一回生の力学の試験に、
  | .l゙  ( C__..イ~゙ノ    ソ
  .|.,ゝ,...∩\\.L レ゚__ ノ ̄     上記を説明せよと出して、
  .| --,,)/  .>n--''" ,ト-、、
  .! ⌒'),! /( .レ~\ / (  \.    3時間ぐらい考えさせたい問題です。
   ヽ`'".ヘv.ヘ   ゙   ヽ  ゙z'

.


1645 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:00 ID:mdIDsGPE


05/48 再掲

            ,. -‐====‐-  、
         xく: ∠⌒ ヽγ⌒`ヽ:::::::::::`ヽ
       /:::::::::{  ̄`ー}{一'´ ̄ }:::::::::::::::::\
     〃:::::::,. -‐',  ≧人≦   .从:::::::::::::::::::::\       おいおい、ここはFラン大だぞ。
.    /::::, : ´   `ー㨨ヽ _ ノ  .`ヽ,、:::::::::::::::ヽ
    /:::::,′      {:::::::::ノ       { }丶::::::::::::∧     採点した後、ほとんど0点で
    ,':::::/ ´ ̄ ̄`ー   ̄「´  ,. -‐==='{ } ヽ::::::::::::::}
   {:γ -‐…―-.    |   __   ´   .∨:::::::::|     そいつらを落とすわけにもいかず、
   {/     ,. -‐     |        ̄`丶   }:::::::::|
   i ,.∠⌒ヽ        |   `丶        | :::::::ノ      苦しむ羽目に会うのは自分だよ、のび太君。
   ', {          |       `丶 、   }::::::,′
    ヽ ヽ.     ,. -‐=┴‐- 、      `ヽ  八::/
      \`ー´ ̄          ` "'' ‐- ,,.._   ノ:::/
       \                 `  八'
       (三三三三三三三三三三三三三三)
       √`ー―∠_⌒ ヽ――丶―――‐一'
       {:::::::/  人 ♀ ヲ     `ヽ:::::::::::::::∧
       |::γ    `ー ´         ∨::::::::::::::|

06/48 再掲

            _____
           /        ヽ∟  /^ \
    _    /________  ヽ  (_/  ヽ
         |ノ─ 、/─ 、ヽ |  ヽ (_\/ .|     うるさいなぁ。
            ,|  \ |・   |  |   j   ヽ `-ノ
.          ||  二 |     | ̄ ⌒ヽ′ /   /      点数を√※するとか、いろいろ手があるんだよ。
     /   /ー C ` ─ \)   _ノ  /    /
         ! ⊂──´⌒ヽ   ノ/(    / ノノ
           \ \_(⌒⌒_) /!  ヽ、/
            ` ,┬─_- ´/ ヽ /
             / |/ \/   く
         ((  /\ \        ヽ
           /, ─ 、/ \       /\
.           (  l l j  \ ___ /   ヽ

※100×√(点数/100)で、点数を換算すると、36点が60点(可)になるのです!


1646 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:19 ID:mdIDsGPE


07/48 再掲

     ――--、..,
     :::::::,-‐、,‐、ヽ.
     :::::_|/ 。|。ヽ|-i、    いつもテストで苦労していたのに、
     /. ` ' ● ' ニ 、
     ニ __l___ノ   自分がそういう立場になったら愉悦を感じるって
     / ̄ _  | i
     |( ̄`'  )/ / ,..   歪んじゃったね、のび太君。
     `ー---―' / '(__ )
     ====( i)==::::/
     :/     ヽ:::i


08/48 再掲
               ___
          ,   ´//////////> 、
         ///////////////////\/
        '///∠∠∠∠∠∠、///////ゝ─
         /イ ̄__    _  <///// ∧
        | /  __ ヽ /_  \ \////∧   ははーん。
.         r‐|  / ◎ } }' /◎ヽ   ,  ∨/// }
       { |  |/¨  | ´─、 } |_ レ- 、/   実は、ドラえもん、
        、 ヽ   r、'ヽ     /      / }
       {\{  ̄ ̄   ` ─‐ ′/}   {ノ }   この問題解けないからそんなこと言ってるんだろ?
        ゝ__ ノ} ̄ :\ ___ ノ:::|   __ノ
  r──‐      }:::::::::::::::::::::::::::::::::_::|  /
  ゝ__  \    }::::::::::r‐‐、:::::::/ }:, /|
    /─/  ' r- }:::::::::\   ̄  // /ノ\
   廴 {   ,  i\ ` ‐- ::: ̄ ̄ / /   /ヽ
   {_ フイ   |--` ‐- 二二二 ´   //  ',
   {__ノ    /      V´   \//   ,
      ` ─ ´───── |       }   }

.


1647 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:41 ID:mdIDsGPE


09/48 再掲
            ____
       .  // ⌒ ⌒ヽ  `\
        //|/’ |,\|ヽ    ヽ っ
   (( _/ ヽ ー● ー ´  \  ヽ っ   そ、そんなわけないじゃないか。
     ヽ  二  /   三     ヽ   l
       `ー⌒ー⌒ヽ、__/⌒ヽ  |   |     のび太君程度が喜ぶ問題なんだ、
             )      |  l /⌒ヽ
     /⌒ヽ __(二二二)__ノ / >、_ ノ    簡単に解けるさ。
    (( ヽ _ ノ`━━O━━━━/   / ノノ
.       \/ /     \     /


10/48 再掲

        / ____ヽ
        |  | /, -、, -、l
        | _| -|  ・|< ||
    , ―-、 (6  _ー っ-´、}     じゃあ、解いて見せてよ。
    | -⊂) \ ヽ_  ̄ ̄ノノ
     | ̄ ̄|/ (_ ∧ ̄ / 、 \   ヒントは以下の7つ
     ヽ  ` ,.|     ̄  |  |
       `- ´ |       | _|
         .|       (t  )

(1) 地球と物体1、物体2の3つについての運動方程式を立てるとよい。

(2) 物体1と物体2の間の万有引力は微小なので0と置く近似を用いる。

(3) 物体1と物体2の重心座標を使うと見通しが良くなる。

(4) 運動方程式を解かなくてもよい。

(5) |x|が微小の時、(1+x)^y ≒ 1 + x yと近似できる。

(6) 物体1,2と地球は一直線上にあるとして、位置関係を決め打ちしてよい。

(7) 解答に潮汐力が入っているとポイントが高いよ。


1649 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:57 ID:mdIDsGPE


11/48 再掲

       ー…―― 、
     / /<ハ/⌒> `>、
    / 斗 → l ←  l    ヽ
   , /  ゝγ⌒ヽ_ノ ヽハ   `
  , , ー― 、ゝr イ __.U ヽ  ヽ
 , , ー―-   !  ___   ',   ,
 lY   /   !  、   `ヽ  ,  .|
 ', /⌒       !   > 、   l ,:
  ヽ乂__ ー┴一 、_   ヽ  , /
.   \          > 、 ル
     にニニニニニニニニニう
     / γ∠ニム――<――{
    ,  / ゝΩノ     V  ヽ


さて、折角なので、皆さんもドラえもんと考えてみてください。
6時間くらい時間を空けます。


1650 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:32:39 ID:mdIDsGPE

ここから、続きを投稿していきます。


1651 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:33:00 ID:mdIDsGPE


12/48

      ______
    /    / ⌒ヽ ⌒ヽヽ
   /     , ┤ /・|・\ |、 \      何はともあれ、文字を定義しよう。
  /   /   ` ー ● ー ′\ヽ
 l    /  ──  |  ──  ヽ     物体1 物体2 地球の加速度 a, α, A
 |  /    ──  |  ──  |
 l  |    ──  |  ー─  l     物体1 物体2 地球の位置  r, ρ, R
  l   |        |        /
  ヽ ヽ   / ̄ ̄ ̄\   /      物体1 物体2 地球の質量  m, μ, M
   >━━━━━O━━━く
  /    /      ヽ  ヽ

13/48
      _____
    /   - 、-、 \
   /   , -| /・|・\|- 、ヽ
  /   / U ` -●- ′ ヽi.    癪だけど、のび太君のヒント(3)に従って、
  |  /  二   |  二   |
  |  |   ─   |__ ─  !    物体1と物体2の重心座標をx、
  ヽ ヽ       __)   /
   \ ヽ     _)   /     物体1と物体2の重心加速度をβ
    l━━6━━━━┥
    | /    \   |      と置こう。

.


1652 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:33:21 ID:mdIDsGPE


14/48
      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\
   / _|  / |ヽ |_\      当然、
  /  /  `ー ● -   ヽ
  | / , 二   |   二、ヽ     x =(m r + μ ρ)/(m + μ)
  | | | ─    |   ─ ||
  ヽヽ .\    |    //     β=(m a + μ α)/(m + μ)
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /
    (二二二(〒)二二)      が得られる。
    /  /     \|ヽ

15/48
     ____
.   /   /⌒ヽ⌒ヽ 、     運動方程式を立てる前に、
  /   , -|/ ・|< |、\
 /   /   `ー ●ー ′ ヽ   どういう風に問題を料理するか考えてみよう。
 l  /   三.  |  三  |
 |   l  /⌒\_|_/^l l
 l  | l , ─ 、- 、     l /
  ヽ l ヽ ___)__ / /
   〉━━━O━━━´⌒ヽ
  /  /      ヽ   l   l

.


1653 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:34:00 ID:mdIDsGPE


16/48
      _____
    /   - 、-、 \     最初、物体1と物体2は大体同じような位置にあって、
   /   , -| /・|・\|- 、ヽ
  /   / U ` -●- ′ ヽi.    それよりもずっと離れたところに地球の中心があって
  |  /  二   |  二   |
  |  |   ─   |__ ─  !    物体1と物体2が地球の中心に近づいていく運動を調べたいのね(衝突する手前までが解析範囲)。
  ヽ ヽ       __)   /
   \ ヽ     _)   /     で、物体1,2の距離が地球よりもずっと小さいことを利用して、
    l━━6━━━━┥
    | /    \   |      (5)を使うイメージかな。

17/48

       ____
      / - 、‐ 、    \
     / -| (・|・) |- 、  U      のび太君のヒント(6)から、r, ρ, Rはベクトルでなく、実数としてよいよね。
   /  `-●‐ ′  \   ヽ
    i 二 __|  二 U   i   i    で、位置関係から、
   _| ─ (__   ─   |   !
 (__)    (_       |   /     R <ρ≦r
  |  ヽ            /  /
  .ヽ  ` ━━6━━━━┥      と決め打ちするかな。

                      物体1と2の位置関係がひっくり返りそうなら、その時に再考するイメージで。

※従って、ρ≦x=(m r + μ ρ)/(m + μ)≦rです。


1654 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:34:51 ID:mdIDsGPE


18/48

      ______
    /    / ⌒ヽ ⌒ヽヽ
   /     , ┤ /・|・\ |、 \    問題によると、物体は紐でつながっているから、
  /   /   ` ー ● ー ′\ヽ
 l    /  ──  |  ──  ヽ  物体1,2はある一定距離を超えることはなく、
 |  /    ──  |  ──  |
 l  |    ──  |  ー─  l  ある瞬間から張力として、物体1にはマイナスの方向の、物体2にはプラスの方向の力が働くと。
  l   |        |        /
  ヽ ヽ   / ̄ ̄ ̄\   /
   >━━━━━O━━━く
  /    /      ヽ  ヽ

19/48

      ___
   /   - 、- 、\     物体1,2にかかる地球の重力はrからRに向かう方向に働く引力だから、
  /   , -|/ ・|∠ !-ヽ
  i   /  `- ●-′ i.    マイナスの値で、
  |  i   三   | 三 )
  ! |   / ̄ ̄ ̄/ ̄    地球に働く物体1,2の重力はプラスだね。
  ヽ ヽ ヽ(二二)_
   l━━━o━-○


20/48

      ,. -――‐- ._
    ,. '´ /⌒ヽ /⌒ヽ `ヽ
   /    !  o l_!o   !   ヽ   以上をもとに、運動方程式を立ててみよう。
.. /  ,. ‐へ_,ノ-ヽ__ノ‐、  ヘ
 ,' / ``'''ー-  ゙、_,ノ  -‐''" ヽ  ',  T≧0を張力として、ヒント(2)から重力項を落とすと……
 ! l  ̄ ̄_   |   _ ̄ ̄ l  |
 l l ‐弋´   |   `~フー ! l  m a = -GMm / (r-R)^2 -T
. ', ',    >-、_ | _,. -'"   / /
  VV  {   )  ̄      / /   μα = -GMμ / (ρ-R)^2 +T
   ヽ/ `ー'_____,//
   /    /--/⌒ヽ----┘、    M A = GMm / (r-R)^2 + GMμ / (ρ-R)^2
   l     /  ヒΤフ  ヽ  \

.


1655 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:35:14 ID:mdIDsGPE


21/48
                      ,......:::-‐=‐- .......
.                ,..,'rく⌒ヽ::,r= 、::::::::::::`::≧x、
            ,x≦:::/  \ ,}::{./  ',::::::::::::::::::::::::::\      そろそろ(5)の近似をつかうかな。
          /::::::::::::{   ,.-.l|l.-、   ト-x、:::::::::::::::::::::`、
            /:::x, イ¨´ヽ  l◎.|.◎!   ノ   `ヽ,::::::::::::::::::\    地球の中心から物体1,2の重心までの距離は
.         ,':::/ ヽ、   ゝ=≦≧= =彡  , イ  \:::::::::::::::::',
.         /::==‐   _   ヾ圭彡'  彡'       ヽ:::::::::::::::..   物体と物体1,2の重心より遥かに大きいので、
        |/ r=、  ̄      {      _,,..-‐''"´   ,‘,::::::::::::::}
        { |! ___     {      __       / .}:::::::::::::}   |r-x| << |x-R |
        | ヾ          {         ̄ ==xイ __ !:::::::::::::}
.             \         |           _,彡'/    !::::::::::::,   |ρ-x| << |x-R |
.          ',  `二==  __|______, イ   /     ,:::::::::::,
           ヾ  `ミ|  |   |    |    |_彡'     ,:::::::::,イ    つまり、
          ヽ   、  |   |    |  x≦     /:::::::/
              \  ` ̄ ====彡'         /::::/      |r-x| / |x-R | << 1
            《ヽ=======|===============ニ二}
           ,::!ヾ三三三,イ=、三三三三二ニ=≦゙∧      |ρ-x| / |R-x | << 1
          /:::,'::::::, イ  { ̄i ̄}  ̄ ` ヽ:::::::::::::::::::::::::::∧
            /:::::{::::/.    ゝ┴..'      ヽ::::::::::::::::::::::::∧



22/48
                     ____
               . . :,x≦ 、: : :,,イ/ヾ:` :..
             /: : /  \`,ili!,'/   !: : : : :`ヽ            重力項に近似式を適用すると、
.              /: , =1  三ヾi!i!・)   ,_: : : : : : : : \
          ̄: ` :〆、  ゝ-, ;;;;;;;;;;;)ヽ _/  ヾ.: : : : : : : :\         1/ (r-R)^2 = (r-x + x - R)^(-2)
       , ´ ̄` ゝ   ヽ  ヾ;;;;;彡'  ─‐‐ =' 丶.: : : : : : : ヽ
       ゝ─‐─‐‐---    |l       ̄ ̄ ̄  丶 : : : : : ::...                   = (x-R)^(-2) * (1 + (r-x)/( x-R ))^(-2)
         > _  ==─    |   _..,,x== x、  丶 : : : : : :.!
.         { ` |`>=‐----─-‐ 彡  , =..、     ヾ  i : : : : :::                 ≒ (x-R)^(-2) * (1 -2 (r-x)/( x-R ))
              li         x≦三} {三三ヽ    、 ¦ : : : : i!
                 , -x,;ニ三ヾ='彡三ニ!    }  } : : : : ::,                 =1/ (x-R)^2 - 2 (r-x)/( x-R )^3
           \ \    (   ` ‐-‐ '       )  ,  ,: : : : : ソ
             \ \   ヽ  ,, = 、       /   ,' /: : : : :/           1/ (ρ-R)^2 ≒1/ (x-R)^2 + 2 (x -ρ)/(x-R)^3
.          _ _  ,ゝ  ヾ==彡'   ` =====彡' , : :_:_:_/_
    , =x≦: : : : : `》三三三三=三三三三三三三二x≦: : : : :`/ ̄   、
   ,      ヾ: : : : : :/ : : x≦ {=== }    ≧x : : : : : : : : : : : : : { /   )
   l     , : : : : /: : :/   ヾ┴ '        ヽ : : : : : : : : : : : :ヾ  __,彡'
.   弋_  イ´  ̄`i: : :/                | : : : : : : i´ ̄ ̄´

※R<ρ≦ x=(m r + μ ρ)/(m + μ) ≦ r に基づき、かっこの中が正になるよう整理しています。


1656 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:35:40 ID:mdIDsGPE


23/48
      , --───-  、
    /    / ⌒ヽ./⌒ヽ\      近似で出てきた項について、
   /   , -{  / ハヽ  } 、 ヽ
  /  /  ゝ _ ノ, ‐ヽ-'  \ヽ    m (r - x)/(x- R)^3 - μ (x - ρ)/(x- R)^3
  / ‐┼──-   ゝ ノ  - ‐一!|‐
  |   l.、, -一    |  ー─- lL_   =1/(x-R)^3 (m(r - x)+μ (ρ-x ))
  |  / \./     |  ー-./ !
  、 ' l. /\_   | _/ /\   =0
  ヽ  X        ̄ ̄   /
   /、二二二二二二二二 く       だね。
  /      /  ( 〒)\ ヽ
  !  /  /         }   !     重心座標が利いてるね。




24/48
        _____
      /.- 、 -、    \
    / |  ・|・  | -、  \         近似結果を運動方程式に入れると、
   // `-● - ′  \   ヽ
   |  三  |   三    ヽ  ヽ      m a = -GMm/ (x-R)^2 + 2GMm (r - x)/(x-R)^3 -T
   | (____|____   |   |
   |  \.        /   |   |       μα = -GMμ/ (x-R)^2 - 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3 +T
   ヽ  \/ ̄ ̄ ̄ヽ/   / /
   _ ヽ   `───-′  / / _       MA = GMm/ (R-x)^2 +GMμ/ (R-x)^2

※第3式は23/46を使っています。


25/48
        _____
      /.- 、 -、    \           第1式+第2式より※、
    / |  ・|・  | -、  \
   // `-● - ′  \   ヽ       (m a + μα) = (m+μ)β = -GM (m+μ)/ (x-R)^2+ 2GMm (r - x)/(x-R)^3+ 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3
   |  三  |   三    ヽ  ヽ
   | (____|____   |   |                       = -GM (m+μ)/ (x-R)^2
   |  \.        /   |   |
   ヽ  \/ ̄ ̄ ̄ヽ/   / /          第3式を整理して、
   _ ヽ   `───-′  / / _
  (  )ヽ━━( t )━━━ /(  )         MA = GM (m+μ)/ (x-R)^2
   \  /      \   /

※23/46を使っています。


1657 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:36:45 ID:mdIDsGPE


26/48

                 /
              /    か パ い な
               |    °タ  つ ん
               |        |  も だ
               |       ン  の  `
           __|____
.         /::::::::::::::::::::::::::::::::\____/
      /:::::::::::::::::::::/⌒Y⌒ :::::\
.       /::::::::::::::::: -‐{ u | u ノ- ::::::.      第1式+第2式を (m+μ)で割って、第3式をMで割ったもので引くと、
      /::::::::::::/   ―- (___) -‐ ヽ|
.    |::::::::: /   --―‐   |   ―- |      β-A = - G(M + m+μ)/ (x-R)^2
.    |::::::::::{  \  -―  |   ‐- }|
.      ::::::::::{       . __|__ ノ .      β-Aはx-Rの加速度だから、
      ゚。:::::\    ∠二二二\_/二二ヽ
       (ニニニニ| 数学公式 冂      |   物体1,2の重心座標と地球の相対距離の加速度は全体の質量に比例するね。
        |::::-―ァ'⌒ヽ――┐ |=|   /⌒ヽ
        |:::::::::::: 、_丿   | |=|   、_丿 大事なことは、この結果はTの値によらず、常に成立するということさ。

27/48

          ____
.         /´ /⌒ヽ ⌒ヽ`\
       /   , -|  >|< |-、 ヽ
      / /   `ー ●ー ′  ヽ ヽ     これは、
     l /  .二    |    二  ヽ l
 /⌒ヽ| l l  ─   |   ─  | | |     >紐で結んだ2つの鉄球を1つの101kgの物体と考えれば、100kgの鉄球より加速度は大きくなければいけない
 〉、__ノl |  \      |       ノ   l
 |   ヽヽ   ヽ、   |     /   /`ヽ    に『相当』する結果だね。
 ヽ   ヽ       ̄ ̄ ̄ ̄   /   l
  ヽ    \ _______ /⌒ヽ  ノ
.    〉    `ー──◯──‐ヽ_ノイ
   l    /         \    |

.


1658 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:38:36 ID:mdIDsGPE


28/48
            . ‐─‐-
          / , ⌒Y⌒ヽ ` .        振り返って、物体1,2について、T=0の時(つまりひもが伸び切っていない状態)の式を再掲するね。
        , ' , ィ  ・|・  }    ヽ
.        / メ 、 `ー● ー '` .   ',      m a = -GMm/ (x-R)^2 + 2GMm (r - x)/(x-R)^3
       ┼'┼-`   l  -──ヽ   }
       l' -ヽ─  l   ──‐ァ }. |     μα = -GMμ/ (x-R)^2 - 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3
.        ',  \  |  ──ナ i  ノ
          \   ̄ ̄ ̄ ̄  //      (m+μ)β = -GM (m+μ)/ (x-R)^2
        ⊂ニニΘニニニつ´
       / /     \   `ヽ

29/48
      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\
   / _|  / |ヽ |_\
  /  /  `ー ● -   ヽ       上の第1式/m-第3式/(m+μ)より、
  | / , 二   |   二、ヽ
  | | | ─    |   ─ ||      (a-β) = + 2GM (r - x)/(x- R)^3 > 0
  ヽヽ .\    |    //
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /       上の第3式/(m+μ)-第2式/μより、
    (二二二(〒)二二)
    /  /     \|ヽ        (β-α) = 2GM (x - ρ)/(x-R)^3 > 0

※不等号判定は、R <ρ< x=(m r + μ ρ)/(m + μ) < r より。

30/48
        _____
      /.- 、 -、    \
    / |  ・|・  | -、  \      このことから、α<β< a が得られて、
   // `-● - ′  \   ヽ
   |  三  |   三    ヽ  ヽ    α-A < β-A < a-A < 0 ※
   | (____|____   |   |
   |  \.        /   |   |     だね。
   ヽ  \/ ̄ ̄ ̄ヽ/   / /
   _ ヽ   `───-′  / / _
  (  )ヽ━━( t )━━━ /(  )
   \  /      \   /

※a-Aは物体1(地球から遠いほう)と地球の相対距離r-Rの加速度で、相対距離を小さくするする方向なので、常にマイナス。
β-Aは物体1,2と地球の相対距離x-Rの加速度。
α-Aは物体2(地球から近いほう)と地球の相対距離のρ-R加速度。
この場合、絶対値が大きいほど早く落ちるので、物体2が最も早く落ちる。


1659 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:40:30 ID:mdIDsGPE


31/48

                _,. -=ニニ=、 ̄二ト .
           ,. <: : : :γ´ , -、 V, - 、 ヽ:>.         ガリレオの予想によると、
            /: : : : : : :__{  {  0} |{0  !  }: : : \
        , ': : :-: z__ '´ 八  ゝ ' ∧、__ノ  j⌒丶:..ヘ       >1kgの鉄球と100kgの鉄球では、1kgの鉄球の方が加速度が小さい
.       /: : : :/  ``丶 ー Y::::::::::r‐ ´,. ---へ:ム
       ′: :/____     ゞ __ノ      _V!     となっているけど、質量に関係なく、地球に近い物体のほうが早く落ちるみたいだね。
      |: : :/       `      |    -  ̄   i}
      |: : {       __       |     _     |     例えば、1kgの鉄球が下にあれば、101kgの全体系より早く落ちてしまうね
      Ⅵ:.i  _ -  ̄       レ⌒ヽ   ` ー- ,
       Ⅵ:i                     }       /
.        Vム           ,. -─- __ノ      /
.         {\ヘ、      /::::::::::}: :/       , '
         /\> .     ゝ--- '’     /
.        /: : : :‘ <≧=- _   イ __,.. r '’
        /: : : : : : :∨/ ー- x==x二=- ´∧

※位置関係は、R<ρ< x=(m r + μ ρ)/(m + μ) < r より。

32/48
      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\         1kgの鉄球が101kgの全体系より早く落ちる理由は、
   / _|  / |ヽ |_\
  /  /  `ー ● -   ヽ       重力を近似して出てきた項- 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3のせいだね。
  | / , 二   |   二、ヽ
  | | | ─    |   ─ ||      この力は重心との距離(x - ρ)に比例しているマイナスの力だから、地球に近いほど重力が大きくなることが分かるね。
  ヽヽ .\    |    //
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /       1kgの鉄球のほうが地球の中心に近いので、受ける重力がより大きいことが原因だね。
    (二二二(〒)二二)
    /  /     \|ヽ        重さうんぬんよりも、距離が支配的な要素となってるね。

33/48

      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\      以上を踏まえて運動の全体像を考えてみるよ。
   / _|  / |ヽ |_\
  /  /  `ー ● -   ヽ    まず、物体1と物体2の間隔は、重力を近似して出てきた項のため、
  | / , 二   |   二、ヽ
  | | | ─    |   ─ ||   時間経過とともに拡大していくと。
  ヽヽ .\    |    //
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /    そして、紐の長さだけ間隔が開くと張力によって間隔が変わらなくなる。
    (二二二(〒)二二)
    /  /     \|ヽ    これは、位置関係ρ≦ r が保存されることを示しているね。

※17/46のセットアップを再考せずに済むようです。

34/48

        , ─── 、
    /   /⌒ ⌒ヽ \
   /  , -|  ・|・  |‐、ヽ    重心座標の運動は、紐が伸びきっていようがいまいが関係なく、
  / /   `ー ●ー    ヽ
  l |   三   |  三  |   (m+μ)の質量の物体の落下として記載されるね。
  | l \     |    / l
  ヽヽ   ヽ、 ____|___/ /_
   >━━━,-、━━━ ( _ )
  /  /  ヽフ ヽ   /

.


1660 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:41:18 ID:mdIDsGPE


35/48
                 ______,,,,,,,,,,,,,,,,______
            ,,,,:::::::゙゙゙゙、-‐‐-、:::::: -‐‐-、゙゙゙゙:::::::,,,,
          ,,::"::::::::::::::/    ヽ/    ヽ:::::::::::::"::,,        さて、以上をもとに、ガリレオの議論を見返してみるよ。
         /::::::::::::::::;;;;l    ◎|<    l;;;;::::::::::::::::\
       /:::::::::::: ''"   ヽ.   ,.-‐-、   ノ  "'' ::::::::::::\     >重い物の方が落下の加速度が早いと仮定する
      /::::::::::/  ー-、,,,_   ̄´l::::::::::::l` ̄  _,,,、-‐ \:::::::::ヽ
      i':::::,、-‐-、.     `'''‐- `‐-‐' -‐'''´    ,.-‐-、::::::::i,    >1kgの鉄球と100kgの鉄球では、1kgの鉄球の方が加速度が小さい
      i'::::/      ──-----  |  -----──     ヽ:::::::i,
     i':::::{.     -----‐‐‐‐‐  │  ‐‐‐‐‐-----    }::::::::i   ように思えるけど、実は、重さじゃなくてこの2つの位置関係で変わってしまうんだ。
    .|:::::i ヽ.,         _____,,,,,,,,|,,,,,,,_____         ,ノ i:::::::|
    .|::::|   `'t‐----‐''''''´         `''''''‐---‐t''´  |::::::i   それでは話が進まないので、100kgの鉄球のほうがわずかに下にあり、
     i::::i    i                      i    i::::
     .'i:::i    i                      i    i::::i'    落下速度が速いと仮定しよう。
 , -‐‐- 、::i,    ヽ.                     /   /::i'
/     ヽi,    ヽ   /゙゙゙゙゙゙゙"'‐--‐'"゙゙゙゙゙\  /    /:i
{      } ヽ     \ /             i/    ./'´
ヽ     ノ:::::::\     `''‐-、,,,,,,,,,_______,,,,,,,、-‐'´    /
 `'''''''''t":::::::::::::::::\,,,,__               __,,,,,/
      \::::::::::::::/;,,,,,,,,"""'''''''''''''ゝ‐-、''''''''''''''""",,,,,,,}'
       \::::::/:::::::::::"""'''''''''''''{===}'''''''''''''""":::::::ヽ
        \:::::::::::::::::::/   `ー゙‐"    \:::::::::::::::\


36/48

      ,、='' ̄::::::::::::::: ゙̄'''ヽ、      >そのため1kgの鉄球と100kgの鉄球を紐で結んで落とすと、
    /:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\
   /:::::_,_、:::::::>‐-、:::::::::::::::::::::::::::::      1kgの鉄球の小さい加速度に引っ張られるために100kgの鉄球の加速度は小さくなる
   /::::/~ヾ,}::::j|  。 }::::::::::::::::::::::::
  l::::/|_ ゚ ,.>ー、ゞー≠ ̄ヽ::::::::::::::      >しかし紐で結んだ2つの鉄球を1つの101kgの物体と考えれば、100kgの鉄球より加速度は大きくなければいけない
  |::/ ヾ≦ヘ,_ノヽ      \:::::
 |Y     l|         ヽ        ように見えるが、101kgの物体とみなした時の物体の加速度は重心系の加速度であり、
 |ノ〆    l|       ー-  |
/| /      l|       ー-  |        重心系より下にある100kgの鉄球は、下にある分だけ重力が強い。
 l / r   」{,        ヽ  |
 l,  ヘ_ _,,>ー=、_   /            その強い分が、1kg分をカバーするだけでなく、重心を101kgで落下させる原動力になるというわけだね。
  ∧   `Σ,,、-‐─゙ゝ=´    /
   ヘ   ===一       ノ
    ∧
     \≧≡=ニー   ノ

.


1661 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:41:55 ID:mdIDsGPE


37/48

                   0       正解だね。
                 //  ヽヽ
          ___               ガリレオの推論には、有限サイズの効果という視点がないので、
       /   /-、    0     0
      /   /(    ヽ _           『場所によって重力が異なる』ようなケースには適用できないのさ。
     /  /⌒ヽ- ノ´ )      0
   ゝl /|   l ヽ ヘ / 0
    l \ \   ノ  /  _      0
     l  \/`ー ´ /ヽ/ /    ,-、、
     \ _(  \ ̄ //  (ヽ/ //)
        `┬ 、二´/   (   _ ⊃
        / \ /\|\  /  /
        |  \  ⊂二二⊃
        ヽ / \ |     |

※そもそも、ガリレオ自身も、『場所によって重力が異なる』ケースを対象にしていたわけではない。

38/48

    __/.:::::::::::::::::::::::::...ヽ
   x`.:::::>-'''''''''''''''ー<.ゝV
   >  fナーヽ ナーヽ∨; i         近似して出てきた力は、重心から物体を引きはがすような方向の力をしているよね。
   \  |l  ・  }{  ・  } }::!!
    `h/ゝ __ ノcゝ __ノ\, 、!         この力は『潮汐力』と呼ばれていて、
      |;{          ヾ ! ノ
     `ヘ   ー-./\  j゙          誤解を懼れずに言うと、潮汐力の寄与の結果ということもできるね。
        ゞ、   ノ  ゞ__
    _ イ }`ー{, ーイf::. ヽ、
    ゝ _、(  ナ´.:.:.:{.:.::. ゝヽ
     ,ヘ´.:.:ヽイ´.:.:.:.:.:i!.:.:.:::.._(
     メ.:.:}.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:}.:.:/ ∨
   /.:.:.:{.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:i∧

※潮汐力はニュートン力学+万有引力で大事な力なんです!

39/48


::::::,イ'¨¨¨¨¨¨¨'''"""'''゙""""""""゙j::::::::::    式を使わず日本語だけで表現するなら、
::::|           _,.. --  、  j::::: :::::
::::| ____    イ   ,_ `ヾ___止--   101kgの重心は、100kgと1kgの重心が同じ位置にあれば、確かに、各々よりも微妙に加速度が大きい
:::::´/    `  xi  ´,イ  ̄ゞソ .|>´∨:
ヘ,| l<´ ̄℡ッ、|≠j|ヾ´ー  ̄´´ . j  ヾ    でも、2つの部分に分かれていると、位置が異なるのでこの比較が成り立たなくなってしまう。
 ト'. メ  ̄ ̄ .jヘ ヽ       メ
 `ヽー―― `∧    -  --     _     より下にあるもののほうが加速度が大きく、
   `∧      !       ┐  j 「
     ヽ、     k    _    /  |    両者にかかる重力の合力をとると、100kgと1kgの間にある重心に

                          101kgの物体が存在するのと同じ重力になるというわけさ。

.


1662 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:42:23 ID:mdIDsGPE


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    _ ,. :ャ≦: ̄ ̄: :≧=-. _
  , <: : : : : : ---- 、: : : : : : :.>x
イ: : : : : : /       \  ,ィ─-、ヽ       所詮、のび太君の問題、
: : : : : : :.,′ γ⌒ヽ   ヘ,イ , -、  ヘヽ
: : : : : :, {   乂zソ    |  (  )   i: ∨    22世紀のロボットには簡単すぎたということさ。
: : /   ヽ、__,. -- 、__,ィ:::::ヽ`_´__  i_: :V
:/ ``ヽ、       八:::::::::::ノ    ̄` ヽ:V
′    `ヽ、       >!'´        __Ⅶ
──- 、            |    ,. ィ'´    !
      ヽ        |    __  i
  i    _         |     _    ̄`!
__, ィ ´ ̄            i       `ヽ、/ i
   ヽ               i         /ヽ,′
     \         i        / /
:、     `ヽ、__      i   _,. イ   , '
ヽ>x_       ──'‐ ' ’     ,ィ
: : \::::::≧--z __       __,. z</
: : : : : >x、__::::::::::::: ̄ ̄ ̄:::〃    ソj
: : : : : : : : : : :,ィ≧------- {   _,.イ'∧
: : : : : : : : : :/        弋==≦´   ノ


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                _. ‐:::::: ̄::::::: 、
   ,.へ         Tア二 ーミ:::::::::::ヾ"
  <:::::::: \.     ,]/  l〃 ̄ヾ、:::::::::マ    簡単だったなら、今度の期末試験に出してみるよ。
   \:::::::::\   ( j! /./! ヽ  .l }〉::::::::!
    \:::::::::\ 〈 `ニと ヽ._ノ¨|=-v′
     厂`寸>、〉. ヾーr―― ァ    :l
    ,' 二/  l    \ 、_/  ,、__ノ
     l ーT´〈    rイ>ヤ ¨チ
    `寸ル '^ヽ- ' |  ヽ_//ヽ
       \     , |     .{   \
         `¨¨¨´ |     ヽ    l


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          _ _ _ _ _ ____
        //   /    |    ̄ ヽ、
      / /  ・ / ・  /ヽ、      \
     // | __ ,,.-'-、  /    \     \
    /     i    i ̄        \    ヽ
    | ──_ `-,-′   _──  ヽ    ヽ
   |  _    /     ̄        ヽ     |
    |  ̄  / ̄ ̄      ̄ ̄──   |      |
    |  / ヽ__     \         |    |
   | /      |       \       |    |
    |        |             |    l
    ヽ.       |             /    /
     ヽ    i ̄             /   /
      \   ヽ             /   /
       |───────────┴─┤
.        ├──-/ ⌒ヽ───────┤
        | /   l===l   \      |

.


1663 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:42:42 ID:mdIDsGPE


43/48

そして、時は流れ、

          _Y_
            r'。∧。y.
         ゝ∨ノ                            ,,,ィf...,,,__
          )~~(                         _,,.∠/゙`'''t-nヾ ̄"'''=ー-.....,,,
         ,i   i,                        ,z'"    ̄ ̄ /n゙゙''''ー--...
         ,i>   <i                   r”^ヽ      く:::::|::|:::〔〕〔〕
         i>   <i.                  入_,..ノ ℃      ̄U ̄_二ニ=
`=.,,ー- ...,,,__  |,r'''"7ヽ、|  __,,,... -ー,,.='             >ーz-,,,...--,‐,‐;;:'''""~
  ~''':x.,,  ~"|{ G ゝG }|"~  ,,z:''"                      ___
      ~"'=| ゝ、.3 _ノ |=''"~      <ー<>         /  l ̄ ̄\
        .|))    ((|        / ̄ ゙̄i;:、      「 ̄ ̄ ̄ ̄| ̄| ̄ ̄ ̄\
             ))|       r'´ ̄「中] ̄`ヾv、   `-◎──────◎一'
                   ├―┤=├―┤ |li:,
         ↑         |「 ̄ |i ̄i|「.//||「ln|:;
                  .    ||//__|L_」||__.||l」u|:;
                   |ニ⊃|  |⊂ニ| || ,|/
                   |_. └ー┘ ._| ||/
                   ヘ 「 ̄ ̄ ̄| /

.


1664 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:15 ID:mdIDsGPE


44/48

期末試験後
                   ───  、
           /::::::::::::::::/フヽ _\
         /:::::::::::: ─|/ G| {∠::::',     案の定、全員0点じゃないか
  〃⌒ヽ.   /:::::::::/_\ヽ__ノ⌒ヽノ-ヽ
  {     }   l::::::::/  ──   ヽ__彡∠ |    どうするんだよ、のび太君
   ヽー彡::ヽ |:::::::|  / ̄ ̄\_| ─ ノ!
     \:::::::\::::!. |/⌒⌒ヽ    ̄T´/⌒ヽ
        ヽ:::::::::::::.  \___}__,ノへ_ノ
        \:::::::::::ミ==========≦:::::/

※√0=0なので、どうしようもありません……


45/48

       _____
   /,´- 、 - 、    \
  /,-|./・|・\ |- 、   ヽ     あれ、いないぞ、
  |  ` -● -′  \  i
  |  ─ |  ─     i  |    PCの電源はつけっぱなしなのに・・・・・・・
  |  二  |  二     |  !
  ヽ  / ̄ ̄ ̄ \   |  /
.   \ヽ____)  / /
   ○ ━━6━◯━━ヽ
    \|/ _____\   ヽ

.


1665 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:35 ID:mdIDsGPE


46/48

::::::::::::::::::::::   ____,;' ,;- i
::::::::::::::::::   ,;;'"  i i ・i;
:::::::::::::::  ,;'":;;,,,,,, ;!, `'''i;
:::::::::::  ,/'"   '''',,,,''''--i
:::::::::  ;/  .,,,,,,,,,,,,,,,,,   ;i'"`i;         /≡≡≡≡≡≡≡≡≡|
:::::::  i;"     ___,,,,,,,  `i"           |┌─────┐ ⑪ |||
::::::: i;    ,,;'""" `';,,,  "`i        | |ドラえもんが | ◎ |||
::::::: |  ''''''i ,,,,,,,,,,  `'--''''"           | |なんとかして |   .|||
::::::: |.    i'"   ";|                | |くれると思った| |||||||.|||
::::::: |;    `-、.,;''" |            |└─────┘||||||| ||
::::::::  i;     `'-----j            | | ̄|| ̄ ̄ ̄ ̄| | ̄||

.


1666 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:46 ID:mdIDsGPE


47/48

::::::::::::::::::::::   ____,;' ,;- i
::::::::::::::::::   ,;;'"  i i ・i;
:::::::::::::::  ,;'":;;,,,,,, ;!, `'''i;
:::::::::::  ,/'"   '''',,,,''''--i
:::::::::  ;/  .,,,,,,,,,,,,,,,,,   ;i'"`i;
:::::::  i;"     ___,,,,,,,  `i"
::::::: i;    ,,;'""" `';,,,  "`i
::::::: |  ''''''i ,,,,,,,,,,  `'--''''"
::::::: |.    i'"   ";|
::::::: |;    `-、.,;''" |
::::::::  i;     `'-----j


おわり


1667 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:57 ID:mdIDsGPE

48/48

ドラえもんは何とかしてくれませんので、
レポート点や出席点が大事になるわけです(切実)
大学生のみんな、寝ててもいいから出席しようね。
ほんと、√は偉大です
※本編はフィクションであり、Fラン大学の実態を反映しているわけではありません。





※諸事情により回答に対する返答等はカットさせていただきます。


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[ 2020/12/01 20:27 ] 語り人総合 読者投稿 | TB(0) | CM(2)
137023 :日常の名無しさん:2020/12/02(水) 01:30:39 ID:-[ ]
式の事はさっぱりわからんけど潮汐力という言葉は聞き覚えがあるなぁ
昔読んだSF短編で、無敵の外殻が売りの宇宙船で死亡事件が発生した。調査員は事件現場の宙域へと調査に出るが・・・という話。
ネタは中性子星(小さいけどとんでもない質量をもつ星)のそばを通ったことで被害者の体に重力が働き、頭と足で星からの距離が違うため潮汐力でブチィ!しちゃったという。
137126 :日常の名無しさん:2020/12/02(水) 20:42:15 ID:-[ ]
分数を「/」を使って表現されると、途端に分かりづらくなるなあ
少なくともワシにとっては
あと式が分からなくなってきたら、面倒だが代数XやYの横に単位を付けると分かりやすいぞ
式の中の代数が多くなりすぎると、式の意味が見えなくなるが、単位が分かれば、その式が表している現象が見えてくる

今回の式は、
「100kgの鉄球と1kgの鉄球では、地球の中心との距離がそれぞれ違う変化をするので、結果的に100kgの鉄球の方がより強い重力が働いく」
という事かな?
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