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読者投稿:やる夫で学ぶデジタル信号処理の予習:テイラー展開、マクローリン展開

目次 国際的な小咄

9900 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:24:27 ID:7CIJrUYU


【やる夫で学ぶデジタル信号処理の予習:テイラー展開、マクローリン展開】



                                    \人_人,_从人_人_人,_从,人/
                                      )  やらない夫ーーー!(
                                    /⌒Y⌒Y⌒Y⌒Y⌒Y⌒Y⌒ヘ
        _____
      / ノ' ^ヽ_\
   ゚ / 。;'⌒)  (⌒ヽ\°
   / o'゚~(___人___)~o°\゜
    |    ゚ |/⌒ヽ|  ゚   |    夏休みのゼミの課題が終わらんおーーーーー!!!!
   \     ` ⌒ ´     /
     /`         ´\
    /       ``"´       ヽ
   .|   Y            Y   |    やる夫:理系大学三年生。専攻は音響・音声
   .|  |          |  |




        / ̄ ̄\
.       /  ヽ、_  \
       (●)(● )    |
.      (__人__)   .u |     おいおい、勘弁してくれだろ
.       (,`⌒ ´     |
       {         |      二人で共同研究なんだから
.      {        /
        ヽ     /       俺も教授に怒られるだろ
       ,, -‐)__, /⌒i
      /;─ー´ミ ./ l
.     (_ンー‐-.ノ´ |       やらない夫:同大学三年生。やる夫と同じゼミに所属
        l      |





9901 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:26:29 ID:7CIJrUYU




               / ̄ ̄\
           /  ヽ、_  \
          (●)(● )   |     ま、ミリも習ってない範囲を自分なりにまとめて発表なんて鬼畜仕様だから無理もないだろ
          (__人__)     |
          (`⌒ ´      |     大体範囲は…このサイト※に書いてあるあたりだったな
              {           |
            {       /     音響・音声を学ぶ前の基礎知識らしいが範囲が広い……
           ヽ      く
    ⊂てヽ   /        ヽ     どれ、どこがわからんのか教えてくれだろ
  {三_ ィ `´  /|     ィ  |
        .\__/   |      |  |


※やる夫で学ぶデジタル信号処理
ttp://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/main.html


               ____
             /      \
           / ─    ─ \                γ´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ
          /   (●)  (●)  \   全然わからん  |  お前夏休み何してたの?   .|
            |      (__人__)     |              ゝ______________,乂
          \     `⌒´    ,/   やめて(震え声)
          /     ー‐    \


9902 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:28:39 ID:7CIJrUYU




     ____
   / _ノ ヽ_\
  / ∩l^l^lnnl^l^|\     やる夫だって理解しようとはしたんだお……!
/  。ヽ   ∥  ノ \
|   /   人   l   |   でも全く式が追えないんだお……!
\ /   /|ii!i!|\ \/
. |    /. |;;;;;;|  \ |              γ´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ
       `ー´                   |  解析学の授業を受けてたらある程度はわかるはずだろ……  |
                            ゝ_____________________________,乂



     ____
   /      \       楽単※だったからPCでメモとるふりしてゲーム作ってたお γ´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ
.. /  _ノ  ヽ、_  \                                         .|  大学辞めたら?    |
/  /⌒)   ⌒゚o  \    友人が辛辣すぎる……                          ゝ__________,乂
|  / /(__人__)      |
\/ /   ` ⌒´     /

※楽単:楽にとれる単位のこと


9903 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:29:09 ID:7CIJrUYU




        . __
       ./::::::. \
       /::::::ヽ;;:   \
     . (:::::(::::冫    |   ていうかまともなゲーム作りに解析学は必要なはずなんだが……
     . (:人;;;) .    |
     r‐-;::::::. .     |    お前の作ってたのって本当にゲームか? アセットのつぎはぎじゃなくて?
     (三)):::::.. .   |
     >::::ノ:::::::::.    /
    /::: / ヽ;:::::::::   /
    /::::/ ⌒ヾ:::::::::::.〈
    (;;;;__ゝ:;;:::::\/:::::)
      . |\::::::::::::;;:1
      . |:::::\;;/:::|




     ____
   /     \
.. /_ノ  ヽ、_   \     その言い方はやめろマジで
/(●)三(●))   .\
|   (__人__)      |
\ ヽ|r┬-| /   /
/   `ー'´      \


9904 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:29:33 ID:7CIJrUYU




   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. | u.   (__人__)    ま、まあとりあえず事前学習に必要な最低限の知識はざっくり教えるだろ
  |     ` ⌒´ノ
.  |         }    といってもどこから教えたものか……
.  ヽ        }
   ヽ     ノ
    i⌒\ ,__(‐- 、
    l \ 巛ー─;\
    | `ヽ-‐ーく_)
.    |      l




         ____
        /     \
      /  _ノ  ヽ、_  \
     /  o゚⌒   ⌒゚o  \     すまんやらない夫、恩にきるお……
      |      (__人__)     |
     \     ` ⌒´     /
      >    / )ヽ   <
      (  \ / __ハ ) /  )
      \  ゙  /ヽ ゙  /
         \_/   \_/


9905 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:31:11 ID:7CIJrUYU




            / ̄ ̄\
.         /_ノ  `⌒ \
   __    | (● ) (⌒ )   |      とりあえず、テイラー展開・マクローリン展開からやってみるだろ
.  | |    | (__人___)    |
.  | |   │ ` ⌒ ´     |      やる夫、この意味はわかるか?
.   | |   , ┤         |
  ,ノ ┴‐v' Λ          /       高階微分、階乗
 f `二ヽ) i ヽ        /
 |  ー、〉 /   〉      <
 |  r_ノ j  / ̄    ´ ̄ ⌒ヽ
 |   )  //{        ィ   }
_ノ    /   |         |  |



        _ _
.         / / )
       / / /  /)                   んなん簡単だお!
. /   / / / //    _____
./    | / //   / ⌒  ⌒\           高階微分は確か同じ式で微分を何回か繰り返すこと、
  / │〈   二二二) ( >)  (< )\
. /   |    | /:::: ⌒(__人__)⌒::::: \        階乗は!がついた数から1までの数をかけていくことだお!
     |    | |     |r┬‐|      |
     |\ ,ノ  \    `ー‐´    /        例えば二階微分はf''(x)、nの階乗はn!、みたいな感じで表すお!

 γ´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ
  |  んじゃあテイラー展開の公式でわからん記号はないな  |
  ゝ_________________________,乂


9906 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:33:56 ID:7CIJrUYU




      / ̄ ̄\
    /  ヽ、_  \
   (●)(● )   |   テイラー展開っていうのは、ざっくりいうとある関数を多項式の和で表現することだろ
   (__人__)     |
   (          |   関数上の一点を中心に展開していくのがポイントだ
.   {          |
   ⊂ ヽ∩     く   例えば、f(x)をaまわりでテイラー展開すると下のようになる
    | '、_ \ /  )
    |  |_\  “ ./
    ヽ、 __\_/


f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f^(3)(a)(x-a)^3 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x-a)^n + ...
※f(a)は定数なので、前から0次、一次、二次…の多項式になっている


      ___
    /       \                  γ´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ
   /          \    うわ、めんどくさ   .|  帰っていいか?  .|
 /   ノ  ヽ、_    \                ゝ_________,乂
 |   ( ●) (● ).     |  じょ、冗談だお
 \ l^l^ln__人__)     /
  /ヽ   L⌒ ´        でもなんでこんなことをするんだお?
      ゝ  ノ


9907 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:34:22 ID:7CIJrUYU




       ., ──‐、
      /     \
.     .|     _ノ  ヽ
     |     ( ●) (●)            これの何が便利かってことなんだが、
     |       (__人__) , -―ーっ
      |     ` ⌒´ノ ( ゝ彡 ̄       やる夫、二次関数上の傾きってどうやって計算する?
.      ン         } ゙| ̄'|
    /⌒ヽ、     ノ  .|,  |
__/   ノ \_ィ ´ー‐ィ'   ∫
| |  /   /    r_____ ∬
| | /   /      |i    ┌‐┐
| | ( 〆⌒'──r─≒、.((|   |
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄└‐┘ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄




.          ____
.         /    \       ん? そりゃ一点とって微分するだけだお
      /          \
    / ⌒    ー    \    それがどうかしたのかお?
     |  (●)  (●)    |
    \  (__人__)    /
      /   `⌒ ´   イ`ヽ、
.    , '     ` ̄          \


9908 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:35:02 ID:7CIJrUYU




                 / ̄ ̄\
               / _ノ  .ヽ、\           なんで一点しかとらないんだ?
               |  (●)(●) |
            |  (__人__) .|          別に二点や三点とってもいいはずだろ?
                |   ` ⌒´  ノ
.    r─一'´ ̄`<ヽ      }           それに上に凸か下に凸か、頂点座標、
      `ー‐ァ   ,    )     , -'~⌒ヽ、
.       ノ   {.   ,ヘ    ,l. ゝ、_ .'ヽ).      二次関数について考えられるものはいくらでもあるはずだ
.     /, 、 _   /. |    . ',  . ..  .ヽ、
    (/ / // / / ...|      ...|\..\\ \_)
      / // / /         . . \_\_)、_)
.        ー' {_/ノ              ."´




      ____
     /      \
   / ─    ─ \      んな無駄なことするわけねえお
 / -=・=-   -=・=-. \
 |  u ,  (__人__)  U |    傾きなんだから最悪一点とその周り以外は無視だお無視
 \    ..` ⌒´   .〆ヽ
  /          ヾ_ノ
 /rー、           |
/,ノヾ ,>         | /
ヽヽ〆|         .|


9909 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:36:32 ID:7CIJrUYU




            / ̄ ̄\
.         /_ノ  `⌒ \
   __    | (● ) (⌒ )   |      そう! 曲線における傾きは関数上の一点と、
.  | |    | (__人___)    |
.  | |   │ ` ⌒ ´     |      その点に限りなく近い一点の直線の傾きだから、
.   | |   , ┤         |
  ,ノ ┴‐v' Λ          /       一点の周り以外は無視していい!
 f `二ヽ) i ヽ        /
 |  ー、〉 /   〉      <        テイラー展開も同じように、
 |  r_ノ j  / ̄    ´ ̄ ⌒ヽ
 |   )  //{        ィ   }    関数から必要な部分のおおよその形(近似値)を取り出すことができるだろ!
_ノ    /   |         |  |


・一次近似
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)  ←ここまでを使う
    + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f^(3)(a)(x-a)^3 + ... + (1/n!)f^(n)(x-a)^n + ...  ←ここ以下はばっさりカット



      / ̄ ̄\    例えば上のように一次より下の項をばっさり切ってしまえば、
    /  ヽ、_  \
   (●)(● )   |   複雑な関数でもa付近ならさっきの微分のように簡単な直線として計算することができるだろ
   (__人__)     |
   (          |   ちなみにこれは一次近似って言って、大学入試でも問題に出されることがあるだろ
.   {          |      γ´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ
   ⊂ ヽ∩     く       |  んなのウチの大学で出た覚えがないお……  .|
    | '、_ \ /  )      ゝ_____________________,乂
    |  |_\  “ ./   うん……、その話はやめようか
    ヽ、 __\_/


9910 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:37:08 ID:7CIJrUYU




   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( 一)(●)     まあ近似値だから正確な値が得られるとは限らないが、
 |     (__人__)
  |     `⌒´ノ     (1+x)^2020と(1+2x)^2019はx=1のときにどっちがでかいのかみたいな、
  |   ,.<))/´二⊃
  ヽ / /  '‐、ニ⊃    クソ面倒な計算を簡単にすることができたりもするだろ
  ヽ、l    ´ヽ〉
   ,-/    __人〉     それでも面倒だからやらないけど
  / ./.   /    \
  | /   /     i \
  |"  /       | >  )       ※まじで計算してないのでもしかしたら計算できないかもです
  ヽ/      とヽ /         イメージとしてとらえてください
   |       そ ノ




            / ̄ ̄\
       f^i   / ノ  \ \
        | |  |  (●)(●)  |    あと、元の多項式とaまわりで近似した多項式はaを離れるほどずれていくだろ
    rr‐r ┤│  |  (__人__)   |
.  〈_|__|(`ヽ }  |   ` ⌒´   |    テイラー展開が有効な範囲はその関数・展開の中心点(aのことだろ)の収束半径から求められる
.  │ /⌒ /   |           |
    ヽ    |    ヽ       |     ただ、ここらへんはもうちょっと先の話だから割愛するだろ
     |  │  /⌒   ー‐ ィ⌒ヽ


9911 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:37:47 ID:7CIJrUYU




               / ̄ ̄\
           /  ヽ、_  \
          (●)(● )   |   テイラー展開がどうして成り立っているかはテイラーの定理を理解する必要があるが、
          (__人__)     |
          (`⌒ ´      |   そこらへんはふんわり説明するよりしっかりと証明を追うほうがいいだろ
              {           |
            {       /    下のサイトとか見ながら手を動かしてください
           ヽ      く
    ⊂てヽ   /        ヽ
  {三_ ィ `´  /|     ィ  |
        .\__/   |      |  |


テイラーの定理の例と証明 - 高校数学の美しい物語
ttps://mathtrain.jp/taylortheorem


      ____
     /      \
   / ─    ─ \
 / -=・=-   -=・=-. \    こいつ、解説を放棄しだした……
 |  u ,  (__人__)  U |
 \    ..` ⌒´   .〆ヽ
  /          ヾ_ノ
 /rー、           |
/,ノヾ ,>         | /
ヽヽ〆|         .|


9912 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:38:15 ID:7CIJrUYU




       /  ̄ ̄ \
      /ノ  ヽ__   \
    /(―)  (― )   \   ていうか、この話ってテキストを理解するのに役に立つのかお?
    |.  (_人_)   u |
   \   `⌒ ´     ,/   テイラー展開ってワードはテキストのどこにも出てこなかったお……
     /         ヽ
.    / l   ,/  /   i
    (_)   (__ ノ     l
    /  /   ___ ,ノ
    !、___!、_____つ




           / ̄ ̄\
          / _ノ  ヽ、_ \    直接は関係ないな  γ´ ̄ ̄ ̄`ヽ
            | ( ●)(● ) |                 .|  おい   |
            |  (__人__)  │                ゝ_____,乂
          |   `⌒ ´   |    ただ、テイラー展開の「関数を多項式で表す」という考え方は、
             |           |
             ヽ       /    この先の「フーリエ級数展開」の理解に確実に役に立つだろ
           ヽ      人
    ⊂てヽ   /        ヽ
  {三_ ィ `´  /|     ィ  |
        .\__/   |      |  |


9913 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:38:39 ID:7CIJrUYU




        / ̄ ̄\
.       /  ヽ、_  \
       (●)(● )    |   フーリエ級数展開は複素数やらが入ってきて確実に頭がこんがらがるから、
.      (__人__)   .u |
.       (,`⌒ ´     |    概念を小分けにして理解したほうが理解が早くなるだろ
       {         |
.      {        /    実際テイラー展開はぱっと見複雑だけど使ってる数式自体は簡単だし、
        ヽ     /
       ,, -‐)__, /⌒i     S.ラングの解析入門でもべき乗級数より前に書かれてるから先に学ぶべき概念のはずだろ
      /;─ー´ミ ./ l
.     (_ンー‐-.ノ´ |
        l      |




     ____
   /_ノ  ヽ、_\
  /( ─)  (─)\     なんか家庭教師の裏側を見てるみたいだお……
/::::::⌒/)/) ⌒::::: \
|   // /      |    で、さっき言ってたマクローリン展開ってのは何なんだお?
\ | /  二二)    /
/ i   r‐一'     \    また別の展開かお?


9914 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:39:20 ID:7CIJrUYU




            / ̄ ̄\
       f^i   / ノ  \ \    テイラー展開において展開の中心aが0周りの場合をそう呼んでるだけ
        | |  |  (●)(●)  |
    rr‐r ┤│  |  (__人__)   |    以上、解説終わり
.  〈_|__|(`ヽ }  |   ` ⌒´   |
.  │ /⌒ /   |           |             γ´ ̄ ̄ ̄`ヽ
    ヽ    |    ヽ       |              .| ええ…… |
     |  │  /⌒   ー‐ ィ⌒ヽ            ゝ_____,乂


参考サイト(既出は除く)

【大学数学】テイラー展開の気持ち【解析学】 - 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」(Youtube)
ttps://www.youtube.com/watch?v=qzd5iXKHkiU

テイラー展開 - EMANの物理学
ttps://eman-physics.net/math/taylor.html

冬に行きたい旅先テンプレ:関西の温泉街。筋肉痛に効く湯があるとなおいい


9915 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:41:15 ID:7CIJrUYU

以上です。訂正・補足あればお願いします(収束半径の話とかあやしい)

専攻が、専攻が遠い……!


9917 : 尋常な名無しさん : 2020/09/27(日) 18:43:24 ID:x4.aFCSo

乙です
単位は取ったけど理解できてた気はしない……


9918 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:43:36 ID:7CIJrUYU

あと、FIRフィルタくらいまでに必要な大学数学の公式とか概念があったら教えてください


9919 : 尋常な名無しさん : 2020/09/27(日) 18:43:56 ID:9g2m7eqY

こうやってみると大して難しい問題じゃないのに何で躓いてしまったのだろう・・・


9916 : 尋常な名無しさん : 2020/09/27(日) 18:42:03 ID:YxLPeeIA

理工系だと必修の数学で、幾何数学と微積分数学でその辺のテイラー展開とマクローリン展開は基礎で1年のときにやる筈なんですけどね
楽単ではなく、容赦ない形で試験されました


9921 : ◆oABLxeeD92 : 2020/09/27(日) 18:49:06 ID:7CIJrUYU

>>9916
大学のレベルによって出る時期は変わるからこの話はやめよう(白目)


関連記事
[ 2020/09/30 19:38 ] 語り人総合 読者投稿 | TB(0) | CM(4)
127510 :日常の名無しさん:2020/09/30(水) 21:34:15 ID:-[ ]
1実変数のテイラー展開やマクローリン展開であれば高校数学の範囲で概念は理解できます。
1次(1階)近似も高校数学の教科書に載っています。
高校で躓く原因は,意味の説明(理解)が十分でないのと,受験へのラストスパートで暗記+計算重視になってしまうことかと。
ニュートン法や積分の台形公式・シンプソンの公式などと併せてじっくり学ぶと面白いし有効だと思います。
多変数や複素関数だとさすがに大変ですからフーリエ級数展開はまた一つ高い山です。
127516 :日常の名無しさん:2020/09/30(水) 22:23:45 ID:K2Rmj1sE[ 編集 ]
大学(学科)のレベル(駅弁大)によってはそもそも出ないしな(実体験
自分の入る数年前まであって、女子が合格できないからという理由で消えた(教授談)
院試の数学は「以下の関数を微分せよ。・y=sin(x) ・y=cos(x) ・y=tan(x)」とかいうレベル。
127528 :日常の名無しさん:2020/09/30(水) 23:33:59 ID:-[ ]
このあたりの一つの関数を複数の関数に係数かけた和で表現するってのは、
ニューラルネットワーク(ひいてはディープラーニング)にも繋がる概念なのよなぁ
127598 :日常の名無しさん:2020/10/01(木) 11:25:36 ID:-[ ]
>>9921
大学だけじゃなくて学んだ年代にもよって出る時期はさらに変わるからこの話題はアカン
先端科学の分野が広がって教養で学んでほしい範囲が上に広がることもあれば、
高校の学習範囲が変わったせいで下に広げないといけなくなることもある
1次変換と複素平面のあつかいなんかめんどくさいもんだった
あと数学Cって2020年現在存在しないのよ(2022年度復活予定)
世代がばれる話でした
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